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レオンハルト・オイラー

The Euler Archive - the works of Leonhard Euler online / Leonhard Euler

レオンハルト・オイラー（Leonhard Euler, 1707年4 月15日 - 1783年9 月18日）は数学者・物理学者であり、天文学者（天体物理学者）である。18世紀最大・最高の数学者である。スイスのバーゼルに生まれ、現在のロシアのサンクトペテルブルクにて死去した。フリードリヒ2世に「数学のサイクロプス（単眼の巨人）」と賞賛される。歴史上最も多産な数学者wikipedia

オイラーの公式

$e^{i\theta} = \cos\theta + i \, \sin\theta$

特にθ = π のとき、 e^iπ + 1 = 0 (オイラーの等式)

オイラー標数

位相空間 X のホモロジー群 Hi(X) (i = 0, 1, 2, ...) について、オイラー標数 χ(X)

$\chi(X) = \sum_{i = 0}^{\infty} (-1)^ib_i$ [bi は X の i 次のベッチ数、すなわち Hi(X) のアーベル群としての階数]

特に X が多面体である場合は、次が成り立つ。

頂点の数 - 辺の数 + 面の数 = 2 - 2g [g:種数] (オイラーの多面体定理)

オイラー方程式

理想流体の運動の法則

$\frac{\partial v}{\partial t} + \left( v \cdot \nabla \right) v= -{1 \over \rho } \nabla p + f$ [v:速度, ρ:密度, p:圧力, f:単位質量当たりの外力]

特に重力場中では、重力加速度を g として f = -g となる。

オイラーの運動方程式

剛体の回転運動を表す式

$\begin{matrix} I_1\dot{\omega}_{1}+(I_3-I_2)\omega_2\omega_3 &=&M_{1}\\I_2\dot{\omega}_{2}+(I_1-I_3)\omega_3\omega_1 &=& M_{2}\\I_3\dot{\omega}_{3}+(I_2-I_1)\omega_1\omega_2 &=& M_{3} \end{matrix}$ [M_i:トルク, I_k:主慣性モーメント, ω:角速度ベクトル]

オイラー＝ラグランジュ方程式

Euler–Lagrange equation

$S(q) = \int_a^b L(t,q(t),q'(t))\, \mathrm{d}t$ [ q:[a,b]⊂R→X t→x=q(t), q':[a,b]→T_q(t)X t→v=q'(t), L:[a,b]×X×TX→R (t,x,v)→L(t,x,v) ]

$L_x(t,q(t),q'(t))-\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}L_v(t,q(t),q'(t)) = 0$

オイラー路

グラフの全ての辺を1度だけ通る路のこと。全ての辺を1度だけ通る閉路は、オイラー閉路という。

グラフGの辺をすべて通るようなオイラー閉路を持つグラフのことをオイラーグラフという。またGの辺をすべて通るような、閉路でないオイラー路を持つグラフのことを準オイラーグラフという。

オイラーグラフと準オイラーグラフは、一筆書き可能である。連結グラフ G に対して次が成り立つ。

Gがオイラーグラフ ⇔ Gの全ての頂点の次数が偶数
Gが準オイラーグラフ ⇔ Gの頂点のうち、次数が奇数であるものがちょうど2つ

オイラー線

三角形の外心O、重心G、垂心Hを通る直線。 2OG = GH が成り立つ。また、九点円の中心、ド・ロンシャン点などもオイラー線上に位置する。正三角形に関しては外心・重心・垂心が一致するため、オイラー線は定義できない。

オイラーのトーティエント関数 (φ関数)

各正の整数 n に対して、1 から n までの自然数のうち n と互いに素なものの個数を φ(n) として与えることによって定まる関数 φ をオイラーのトーティエント関数(totient function)という。慣例的に φ(n) と表記されるため、オイラーの φ 関数とも呼ばれる。

オイラー数

以下のテイラー展開で定義される整数列Enのこと。

$\operatorname{sech}\,t=\frac{2}{e^t+e^{-t}}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{E_n}{n!}t^n$

オイラーの定数

$\gamma := \lim_{n \rightarrow \infty} \left(\sum_{k=1}^n \frac{1}{k} - \ln(n) \right) = \int_1^\infty\left({1\over\lfloor x\rfloor}-{1\over x}\right)\,dx$
≈ 0.57721 56649 01532 86060 65120 90082 40243 10421 59335 93992 35988 05767 23488 48677 26777 66467 09369 47063 29174 67495…

オイラー・マスケローニ定数 (Euler-Mascheroni constant)、オイラーのγ (Euler's gamma) とも呼ぶ。

オイラー素数

次の式で生成される素数。

f(n) = n² + n + 41 n = 0, …, 39

41, 43, 47, 53, 61, 71, 83, 97, 113, 131, 151, 173, 197, 223, 251, 281, 313, 347, 383, 421, 461, 503, 547, 593, 641, 691, 743, 797, 853, 911, 971, 1033, 1097, 1163, 1231, 1301, 1373, 1447, 1523, 1601

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