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カール・フリードリヒ・ガウス

ヨハン・カール・フリードリヒ・ガウス（Johann Carl Friedrich Gauss (Gauß)、1777年4 月30日 - 1855年2 月23日）はドイツの数学者、天文学者、物理学者である。彼の研究は広範囲におよんでおり、特に近代数学のほとんどの分野に影響を与えたと考えられている。数学や磁気学の各分野には彼の名が付いた法則、手法等が数多く存在する。19世紀最大の数学者の1人である。wikipedia

ガウス[G]

磁束密度の単位
G = Mx/cm² = dyn^1/2·cm^-1 = 10^-4T

ガウス記号

床関数を表す記号[x]。実数 x に対して x 以下の最大の整数として定義される。同じ意味の記号に ⌊x⌋, floor(x) などがある。
[x] := max{ z∈Z | n≤x }

ガウスの消去法

連立一次方程式の解法。掃き出し法ともいう。

ガウス＝ザイデル法

n元連立一次方程式 $A\vec{x}=\vec{b}$ を反復法で解く手法の1つ。
係数行列が正定値対称ならば収束する。また、対角優位な行列( |a_ii| > Σ_i≠j|a_ij| )ならば収束する。
$x_{i}^{(k+1)} = \frac{1}{a_{ii}} \left( b_{i} - \sum_{j=1}^{i-1} a_{ij}x_{j}^{(k+1)} - \sum_{j=i+1}^{n} a_{ij}x_{j}^{(k)} \right)$

ガウス＝ルジャンドルのアルゴリズム

円周率を計算する際に用いられるアルゴリズム。

a₀ = 1, b₀ = 1/√2, t₀ = 1/4, p₀ = 1

a_n+1 = (a_n+b_n)/2, b_n+1 = √a_nb_n, t_n+1 = t_n - p_n(a_n-a_n+1)², p_n+1 = 2p_n

π ≈ (a_n+b_n)²/4t_n

ガウス平面 (Gaussian plane)

複素数を平面上の点と一対一に対応付けることによって得られる、複素数をその内部の点として含む平面。
複素数平面、アルガン図 (Argand Diagram)などともいう。

ガウス整数

実部と虚部が共に整数であるような複素数。ガウス整数全体の集合 Z[i] をガウス整数環とよぶ。また次の Q[i] をガウス数体とよぶ。
Z[i] := {a+bi | a,b∈Z}, Q[i] := {a+bi | a,b∈Q}

ガウス整数のノルムは N(a + bi) := a² + b² で与えられる非負の有理整数である。

単数(1の約数)は 1, -1, i, -i の4つ。

ガウス素数とは、約数として8個の自明な約数しか持たないガウス整数のことである。例えば、1 + 2iはガウス素数であり、13 = (3 + 2i)(3 − 2i) は有理素数だがガウス素数でない。

ガウス整数環は素元分解整域である。つまり、任意のガウス整数はガウス素数の積として、順序と同伴を除いて一意に表すことができる。

» ガウス素数

ガウス関数

次の形の初等関数をガウス関数という。

$a \exp \left$ -\frac{(x - b)^2}{2c^2} \right$$

ガウス関数の1つ exp(-x²) の両側無限積分はガウス積分と呼ばれる。

$\int_{-\infty}^\infty \exp ( {-x^2} ) dx = \sqrt{\pi}$

ガウス分布

次の形の確率密度関数で与えられる分布。
平均を μ, 分散を σ² とする正規分布ともいい、N(μ, σ²) と表す。特に μ = 0, σ² = 1 の時、標準正規分布と呼ばれる。

$f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} \exp\!\left(-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2} \right)$

ガウスの定理

発散定理ともいう。

R³ で定義された滑らかなベクトル場 F = (F₁, F₂, F₃) に対して F の発散 div F を
$\mbox{div}F=\frac{\partial F_1}{\partial x}+\frac{\partial F_2}{\partial y}+ \frac{\partial F_3}{\partial z}$
と定義する。これは∇を用いると, ∇⋅F と表わされる。

V を R³ において滑らかな境界 ∂V をもつ連結開集合とし、F を V の閉包で定義されている滑らかなベクトル場とすると、次が成り立つ。
$\iiint_V\nabla\!\cdot\!F\,dxdydz=\iiint_V \operatorname{div} F\,dxdydz=\iint_{\partial V}F\!\cdot\!n\,dS$ [n は V の外向き単位法ベクトル]

ガウスの法則

積分形式
$\oint_S \mathbf{D} \cdot d\mathbf{S} = \int_V \rho \, dV = Q$ [ D : 電束密度, ρ : 電荷密度, Q : 積分領域 V の内部にある電荷の総和, dS : 面素ベクトル, V : 体積 ]
微分形式
$\mathrm{div} \mathbf{D} = \lim_{\Delta V \to 0} \frac{1}{\Delta V} \oint_{\Delta S} \mathbf{D} \cdot d\mathbf{S}$

ガウスの超幾何関数

一般に次の形式で表される級数を超幾何級数という。

$_rF_s\left[\begin{matrix}a_1,a_2,\dots,a_r\\b_1,b_2,\dots,b_s\end{matrix};z\right]=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(a_1)_n(a_2)_n\dots(a_r)_n}{(b_1)_n(b_2)_n\dots(b_s)_n\;n!}z^n$
[ (x)₀ = 1, (x)_n = ∏^n-1_k=0(x+k) ] (ポッホハマー記号)

特に r=2, s=1 の場合をガウスの超幾何関数という。オイラー積分を用いて次のように表される。

$F(a,b,c;z)=\frac{\Gamma(c)}{\Gamma(a)\Gamma(c-a)}\int_{0}^{1}t^{a-1}(1-t)^{c-a-1}(1-tz)^{-b}dt$ (0 < ℜa < ℜc, |z|<1)

z = 1を代入するとガウスの超幾何定理を得る。

$F(a,b,c;1)=\frac{\Gamma(c)\Gamma(c-a-b)}{\Gamma(c-a)\Gamma(c-b)}$ (ℜa+ℜb < ℜc, c∈Z＼N)

更にa = − nを代入するとヴァンデルモンドの恒等式を得る。

$F(-n,b,c;1)=\frac{\Gamma(c)\Gamma(c-b+n)}{\Gamma(c+n)\Gamma(c-b)}=\frac{(c-b)_n}{(c)_n}$

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