大阪府職員採用試験の情報分野を解いてみる

$A=\begin{bmatrix} 1&0\\ 2&2 \end{bmatrix}$ $B=\begin{bmatrix} 1&0&1&0\\ 2&2&-1&1/2\\ 0&0&1&0\\ 0&0&0&1 \end{bmatrix}$

Aの固有値 t は |A-tE| = 0 より、(1-t)(2-t) = 0 ∴t = 1, 2
ケーリーハミルトンの定理より、A²-3A+2E = 0 したがって、A³-3A²+2A+E = A(A²-3A+2E)+E = E

$B=\begin{bmatrix} A&A^{-1}\\ 0&E \end{bmatrix}$ だから $B^3=B^2B= \begin{bmatrix} A^2&E+A^{-1}\\ 0&E \end{bmatrix} \begin{bmatrix} A&A^{-1}\\ 0&E \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} A^3&A+E+A^{-1}\\ 0&E \end{bmatrix}$
ここで(1)の結果より A³ = 3A²-2A = 3(A²-3A+2E)+7A-6E = 7A-6E となって
$A^3= \begin{bmatrix} 1&0\\ 14&8 \end{bmatrix}$
したがって、 $B^3= \begin{bmatrix} 1&0&3&0\\ 14&8&1&7/2\\ 0&0&1&0\\ 0&0&0&1 \end{bmatrix}$

$A^n=\begin{bmatrix} a_{n}&b_{n}\\ c_{n}&d_{n} \end{bmatrix}$ とおくと、 $A^n=A^{n-1}A=\begin{bmatrix} a_{n-1}&b_{n-1}\\ c_{n-1}&d_{n-1} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1&0\\ 2&2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a_{n-1}&b_{n-1}\\ 2a_{n-1}+2c_{n-1}&2d_{n-1} \end{bmatrix}$
a_n = a_n-1 = a₁ = 1
b_n = b_n-1 = b₁ = 0
c_n = 2c_n-1+2
c_n+2 = 2(c_n-1+2)
c_n+2 = 2^n-1(c₁+2)
∴ c_n = 2ⁿ⁺¹-2
d_n = 2d_n-1 = 2^n-1d₁ = 2ⁿ
以上より、 $A^n=\begin{bmatrix} 1&0\\ 2^{n+1}-2&2^n \end{bmatrix}$

P_iのx座標x_i、y座標y_iはそれぞれAO、OBをi:n-iに内分する値をとるので、 x_i=(n-i)/n*OA, y_i=i/n*OB
∴ P_i(a(n-i)/n, bi/n)

$S_n=\sum_{i=1}^{n-1}\bar{OP_i}^2=\sum_{i=1}^{n-1}((\frac{a(n-i)}{n})^2+(\frac{bi}{n})^2)=\frac{1}{n^2}(a^2+b^2)\sum_{i=1}^{n-1}i^2$ $=\frac{1}{n^2}(a^2+b^2)\cdot \frac{(n-1)n(2n-1)}{6}=\frac{(n-1)(2n-1)(a^2+b^2)}{6n}$

$\frac{S_n}{n-1}=(a^2+b^2)\frac{2n-1}{6n}=(a^2+b^2)\frac{2-1/n}{6}\rightarrow (a^2+b^2)\frac{2-0}{6}$ (n→∞)
∴ $\lim_{n \rightarrow \infty}\frac{S_n}{n-1}=\frac{a^2+b^2}{3}$

P₁(t+Δt) = P₀(t)λΔt+P₁(t)(1-λΔt-μΔt)+P₂(t)μΔt

P_n = P_n-1λΔt+P_n(1-λΔt-μΔt)+P_n+1μΔt
∴ P_n-1λ-P_n(λ+μ)+P_n+1μ = 0 (n≥1), P₁ = P₀λ/μ

(2)より、P_n+1-P_n = ρ(P_n-P_n-1) = ρⁿ(P₁-P₀) = ρⁿ(ρ-1)P₀
P_n = P₀+∑ρⁿ(ρ-1)P₀ = P₀+(ρ-1)P₀(1-ρⁿ)/(1-ρ) = ρⁿP₀
∑P_n = 1 より、P₀/(1-ρ) = 1 ∴P₀ = 1-ρ

A=(5, 8), B=(6, 4), C=(4, 2), D=(8, 6), E=(3, 6)

E, C, A, B, Dの順のときだから、 3+6+5+8+8+6=36

E, A, D, B, Cの順で、 3+6+8+6+4+2=29

１から５の５つの数字を重複無く組み合わせた５桁の数字Xを考える。

Xは5!=120通り。衝突するのはA[3]=5, A[4]=2のときだから、次の6通り。 13452, 14352, 31452, 34152, 41352, 43152

X = 12345 のとき hash2 = 0, X = 12354 のとき hash2 = 2*1+1*1 = 3

X = 12345 のとき最小値 0, X = 54321 のとき最大値 4*24+3*6+2*2+1*1+0*1 = 119

xy平面において、y=mx (m≠0) に関する対称移動をf、原点のまわりのθの回転移動をgとし、一次変換f,gを表す行列をそれぞれA,Bとする。

(a, b)がAによって(c, d)に移るものとすると、この2点はy=mxに直行する直線y=-(1/m)x+e上にあり、中点はy=mx上にある。よって、次の関係式を得る。

b = -(1/m)a+e
d = -(1/m)c+e
(b+d)/2 = m(a+c)/2

これを解いて、c=a(1-m²)/(1+m²)+2bm/(1+m²), d=2am/(1+m²)-b(1-m²)/(1+m²) ∴ $A=\begin{pmatrix}\frac{1-m^2}{1+m^2}&\frac{2m}{1+m^2}\\\frac{2m}{1+m^2}&-\frac{1-m^2}{1+m^2}\end{pmatrix}$
回転行列 $B=\begin{pmatrix}\cos \theta &-\sin \theta \\\sin \theta &\cos \theta\end{pmatrix}$

$F=AB=\begin{pmatrix}-\frac{3}{5}&\frac{4}{5}\\\frac{4}{5}&\frac{3}{5}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\frac{\sqrt{3}}{2}&-\frac{1}{2}\\\frac{1}{2}&\frac{\sqrt{3}}{2}\end{pmatrix}$ = $\frac{1}{10}\begin{pmatrix}-3\sqrt{3}+4&4\sqrt{3}+3\\4\sqrt{3}+3&3\sqrt{3}-4\end{pmatrix}$

$F=AB=\frac{1}{1+m^2}\begin{pmatrix}1-m^2&2m\\2m&-(1-m^2)\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\cos\theta&-\sin\theta\\\sin\theta&\cos\theta\end{pmatrix}$
$G=B^{-1}A^{-1}=\begin{pmatrix}\cos\theta&\sin\theta\\-\sin\theta&\cos\theta\end{pmatrix}\frac{1}{1+m^2}\begin{pmatrix}1-m^2&2m\\2m&-(1-m^2)\end{pmatrix}$
∴ $F=G=\frac{1}{1+m^2}\begin{pmatrix}(1-m^2)\cos\theta+2m\sin\theta&-(1-m^2)\sin\theta+2m\cos\theta\\2m\cos\theta-(1-m^2)\sin\theta&-2m\sin\theta-(1-m^2)\cos\theta\end{pmatrix}$

_pC_i=p·(p-1)!/i!(p-i)! は整数。
pは素数であり p>i, p>p-i だからi!(p-i)!の因数でpを割り切る数は1以外にない。

(1)より 0<i<p について _pC_i≡0 (mod p) だから (k+1)^p ≡ k^p+∑_pC_ikⁱ+1 ≡ k^p+1 (mod p)

n=1のとき n^p ≡ n (mod p) は明らか。
n=kのとき k^p ≡ k (mod p) が成り立つと仮定する。
(2)の結果より (k+1)^p ≡ k^p+1 ≡ k+1 (mod p) つまりn=k+1のときも成立する。
数学的帰納法より、n^p ≡ n (mod p) が成り立つ。

S → aBC → abC → abc
S → aSBC → aaBCBC → aaBBCC → aabBCC → aabbCC → aabbcC → aabbcc

{aⁿbⁿcⁿ | n>0}

G2=({S,A,B},{a,b},P,S), P=(S→aB, A→a, B→bB, B→bA), {abⁿa | n>0}

startn: 0 endn: 7
startn: 0 endn: 3
startn: 0 endn: 1
startn: 0 endn: 0
startn: 4 endn: 7

J_n = ∫(cos x)(cos^n-1 x)dx
= [(1/n)(cosⁿ x)]-∫(sin x){(n-1)(-sin x)(cos^n-2 x)}dx [部分積分]
= (n-1)∫(1-cos² x)(cos^n-2 x)dx [sin² x = 1-cos²]
= (n-1)∫cos^n-2 xdx - (n-1)∫cosⁿ xdx
= (n-1)J_n-2 - (n-1)J_n
∴ J_n=(n-1)J_n-2/n

J_2m = (2m-1)/2m·J_2m-2 = (2m-1)/2m·(2m-3)/(2m-2)·J_2m-4 = ∏(2m-1)/∏2m·J₀
ここで、J₀ = ∫dx = π/2
∴ J_2m = ∏(2m-1)/∏2m·π/2

∫cos⁴ x·sin² xdx = ∫(cos⁴ x)(1-sin² x)dx = ∫cos⁴ xdx - ∫cos⁶ xdx = (3/4)(1/2)(π/2) - (5/6)(3/4)(1/2)(π/2) = π/16

$A=\begin{bmatrix}1&0&0\\1&0&-1\\0&-1&0\end{bmatrix}$

|A-tE| = (1-t)(t²-1) = -(t+1)(t-1)² ∴ t=±1

$A^2=\begin{bmatrix}1&0&0\\1&1&0\\-1&0&1\end{bmatrix}$ $A^3=\begin{bmatrix}1&0&0\\2&0&-1\\-1&-1&0\end{bmatrix}$ より、 A³ = A+A²-E つまりn=3のとき成立する。
A^k = A^k-2+A²-E (k≥3) を仮定する。
A^k+1 = A^k-1+A³-A [両辺にAをかける]
A^k+1 = A^k-1+(A+A²-E)-A
A^k+1 = A^(k+1)-2+A²-E
よってn=k+1のときも成立する。
数学的帰納法により、Aⁿ=A^n-2+A²-E (n≥3)

A^2m = A^2m-2+A²-E = A²+(m-1)(A²-E) = mA²-(m-1)E = $\begin{bmatrix}1&0&0\\m&1&0\\-m&0&1\end{bmatrix}$

f(x) は常に f''(x)>0 とする。y=f(x) 上の点 P(t, f(t)) における法線上の点で PQ=1, Y(t)<f(t) を満たすものを Q(X(t),Y(t)) とする。

Qが法線 y=f'(t)(x-t)+f(t) 上にあり、また PQ=1、つまり PQ²=1 であるから、
Y(t) = f'(t)(X(t)-t)+f(t)
(X(t)-t)²+(Y(t)-f(t))² = 1
これを解いて、X(t) = t±(f'(t)+1)^-1, Y(t) = f(t)±f'(t)(f'(t)+1)^-1
ここで、Y(t)<f(t) より、
-1<f'(t)<0 のとき、X(t) = t-(f'(t)+1)^-1, Y(t) = f(t)-f'(t)(f'(t)+1)^-1
f'(t)<-1, 0<f'(t) のとき、X(t) = t+(f'(t)+1)^-1, Y(t) = f(t)+f'(t)(f'(t)+1)^-1

-1<f'(t)<0 のとき、X'(t) = 1+f''(t)(f'(t)+1)^-2 = ((f'(t)+1)²+f''(t))(f'(t)+1)^-2
(f'(t)+1)²≥0, f''(t)>0 であるから、X'(t)>0

n=1 のとき、明らかに (1/2)(E±A) = (1/2)(E±A)
n=k のとき [(1/2)(E±A)]^k = (1/2)(E±A) を仮定する。
[(1/2)(E±A)]^k+1 = [(1/2)(E±A)]^k(1/2)(E±A) = (1/2)(E±A)(1/2)(E±A) = (1/4)(E±A+A²) = (1/4)(E±A+E) = (1/4)(2E±2A) = (1/2)(E±A)
n=k+1のときも成立。帰納法より、[(1/2)(E±A)]ⁿ = (1/2)(E±A)

n=1 のとき、A(E±A)¹ = A±A² = A
n=k のとき、A(E±A)^k = A を仮定する。
A(E±A)^k+1 = A(E±A)^k(E±A) = A(E±A) = A
n=k+1のときも成立。帰納法より、A(E±A)ⁿ = A

n=1 のとき …略…

Good → Good(90%), Normal(10%)
Normal → Normal(40%), Good(50%), End(10%)
Good:100, Normal:50, End:0

P₁₁=9/10, P₁₂=1/10, P₁₃=0
P₂₁=1/2, P₂₂=2/5, P₂₃=1/10
P₃₁=0, P₃₂=0, P₃₃=1

M=lim_t→∞∑Q^t, Q=(Q_ij)
Q₁₁=9/10, Q₁₂=1/10
Q₂₁=1/2, Q₂₂=2/5

薬品Aの売値は1kgあたり6万円、薬品Bの売値は1kgあたり5万円である。
薬品Aを1kg製造するのに原料Pを3t、原料Qを1t消費し、薬品Aを1kg製造するのに原料Pを1t、原料Qを4t消費する。
１週間あたりの使用可能量は、Pは60t、Qは64tしかない。

3x₁+x₂≤60
x₁+4x₂≤64
6x₁+5x₂=k

3x₁+x₂=60
x₁+4x₂=64
を解いて、x₁=16, x₂=12
このとき売上が最大となり、6*16+5*12=156[万円]

(3) Bの売値を変更しても(2)の生産計画を変更する必要がないBの売値の範囲

6x₁+bx₂=k
-3≤-6/b≤-1/4 であればよい。
1/3≤b/6≤4
∴ 2≤b≤24

[問5]

(1)

(2)

平成17年度

[問1]

(1) x>0 に対して e^x>1+x+x²/2 を示せ。

g(x)=e^x-(1+x+x²/2) とおく。
g'(x)=e^x-(1+x)
g''(x)=e^x-1
g''(x)>0, g'(0)=0 より、g'(x)>0
また、g(0)=0 であるから g(x)>0
つまり、e^x>1+x+x²/2

(2) lim_x→∞ x/e^x の収束、発散

x>0 に対して 0<x/e^x は明らか。
(1)より、x/e^x < x/(1+x+x²/2) = (1/x)/(1/x²+1/x+1/2) → 0 (x→∞)
したがって、はさみうちの定理より、lim_x→∞ x/e^x=0

(3) f(x) = e^1/(-|x|) (x≠0), 0 (x=0) のとき、x=0 における f(x) の微分可能性と連続性

lim_x→0 f(x) = 0 だから x=0 で連続。
(f(h)-f(0))/h = e^1/(-|h|)/h → 0 (h→0) よって、x=0 で微分可能 f'(0)=0

[問2]

球面 x²+y²+z²=1 上に点 P(a,b,c) がある。a,b,c は正の数とする。

(1) 点Pにおいて球面と接する平面の方程式

法線ベクトルが(a,b,c)で、点Pを通るから、a(x-a)+b(y-b)+c(z-c)=0
∴ ax+by+cz=1

(2) 上記平面とx,y,z軸が交わる点をそれぞれA,B,Cとする。三角形ABCの面積

A(1/a,0,0), B(0,1/b,0), C(0,0,1/c) より、
三角錐A-OBCの体積は (1/3)*(1/2)(1/b)(1/c)*(1/a) = 1/(6abc)
これを三角錐O-ABCとして見るとABCの面積をSとして、(1/3)*S*1 = 1/(6abc)
∴ S=1/(2abc)

(3) 点Pが、平面 2x-y=0 と球面の交線上を動くとき、ABCの面積の最小値

a²+b²+c²=1, 2a-b=0 より、
b=2a, a²=(1-c²)/5
よって、S = 1/(2abc) = 1/(4a²c) = 5/(4(1-c²)c)
Sが最小となるのは f(c)=(1-c²)c (0≤c≤1) が最大のとき。
f'(c)=-3c²+1, f'(c)=0 を解いて c=1/√3
∴ S_min = 5/(4(1-(1/3))(1/√3)) = 15√3/8

[問3]

原料 A, B, C から製品 X, Y を製造する。X を 1kg 製造すると 10,000 円、Y を 1kg 製造すると 5,000 円の利益がある。
A は 5kg あり、X を 1kg 製造するのに 5kg、Y を 1kg 製造するのに 4kg 必要となる。
B は 4kg あり、X を 1kg 製造するのに 5kg、Y を 1kg 製造するのに 1kg 必要となる。
C は 2kg あり、X を 1kg 製造するのに 1kg、Y を 1kg 製造するのに 2kg 必要となる。

(1) 最大利益を求める。Ｘの製造量を x[kg]、Ｙの製造量を y[kg] として制約条件と目的関数を示せ。

5x+4y ≤ 5
5x+y ≤ 4
x+2y ≤ 2
10000x+5000y = k

(2) 最大利益とそのときのXとYの製造量

5x+4y = 5, x+2y = 2 を解いて、(1/3, 5/6)
10000*(1/3)+5000*(5/6) = 7500

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平成21年度

[問1]

(1) Aの固有値とA3-3A2+2A+Eの値

(2) B3の値

(3) Anをnで表す

[問2]

(1) Piの座標

(2) Snを求める

(3) を求める

[問3]

(1) P0(t+Δt) = P0(t)(1-λΔt)+P1(t)μΔt のように P1(t+Δt), P0(t), P1(t), P2(t) が満たす関係式

(2) 定常状態 Pn(t+Δt) = Pn(t) でのPn-1, Pn, Pn+1の関係式

(3) ρ=λ/μとおくときP0=1-ρを示す

[問4]

(1) A, B, C, D, Eの順

(2) M1での加工時間が短い順

(3) 作業時間が最短となる順

[問5]

(1) Xは何通りあるか。31452とハッシュが衝突するXをすべて示せ。

(2) Xが 12345、および、12354のときのhash2によるハッシュコード

(3) すべてのXに対してのhash2によるハッシュコードは衝突するか。するなら例を１組、しないなら最大値最小値を示せ。

平成20年度

[問1]

(1) 行列A,Bをm,θで表す

(2) 合成変換g·fを表す行列Fとしてm=2, θ=π/6のときのFを求める

(3) g·fの逆変換を表す行列をGとするときF=Gを示す

[問2]

(1) iはpより小さい正整数とするとpCiはpで割り切れる

(2) 非負整数kについて (k+1)p ≡ kp+1 (mod p)

(3) 任意の自然数nについて np ≡ n (mod p)

[問3]

(1) Aについて1回の発注量をQとしたとき100日間の総経費FをQで表す。初期在庫量は0とする。

(2) Aについて100日間の総経費が最小になるQ

(3) Bについて本日が発注日、本日終了時点で在庫量50、発注残170の場合の適切な発注量

[問4]

(1)

(2) L2={x | x∈(a,b)≠, x=xR}

(3) L3={0n1n+1 | nは非負整数}

[問5]

(1)

(2)

平成19年度

[問1]

(1) のとき Jn=(n-1)Jn-2/n を証明

(2) n=2m (m≥1)のとき、をmで表す

(3) の値

[問2]

(1) Aの固有値

(2) n≥3のとき、An=An-2+A2-Eを示す

(3) n=2m (m≥1)のときA2mをmで表す

[問3]

(1)

(2)

(3)

[問4]

(1)

(2)

(3)

[問5]

(1)

(2)

平成18年度

[問1]

(1) Q(X(t),Y(t)) を求めよ。

(2) X'(t)>0 を示せ。

(3) 点Pを動かすとき、点Qの軌跡の方程式は y=g(x) の形で表されるが、このとき f'(x) と g'(x) の大小を比較せよ。

[問2]

(1) 正方行列Aについて、A2=E のとき、次を示せ。[(1/2)(E±A)]n = (1/2)(E±A)

(2) 正方行列Aについて、A2=O のとき、次を示せ。A(E±A)n = A

(3) 任意の実数 λ について次を示せ。

[問3]

(1) Good 1, Normal 2, End 3 としてiからjに遷移する確率をPijとしたとき推移確率行列P=(Pij)

(2) t回目の状態＝初期状態×Ptとあらわされる。 推移確率行列 とおくとき となる基本行列Mを求めよ。

(3) Mij は i からスタートして吸収状態に陥るまでに j を通過した平均回数となることから、GoodからスタートしてEndになるまでの平均試技回数とポイント数の期待値を求めよ。

[問4]

(1) 薬品A,Bの1週間あたりの製造量をそれぞれ x1, x2 [kg] として制約条件と目的関数を示せ。

(2) 1週間あたりの最大売上とその時の製造量

(3) Bの売値を変更しても(2)の生産計画を変更する必要がないBの売値の範囲

[問5]

(1) Aの固有値とA³-3A²+2A+Eの値

(2) B³の値

(3) Aⁿをnで表す

(1) P_iの座標

(2) S_nを求める

(3) $\lim_{n \rightarrow \infty}\frac{S_n}{n-1}$ を求める

(1) P₀(t+Δt) = P₀(t)(1-λΔt)+P₁(t)μΔt のように P₁(t+Δt), P₀(t), P₁(t), P₂(t) が満たす関係式

(2) 定常状態 P_n(t+Δt) = P_n(t) でのP_n-1, P_n, P_n+1の関係式

(3) ρ=λ/μとおくときP₀=1-ρを示す

(1) iはpより小さい正整数とすると_pC_iはpで割り切れる

(2) 非負整数kについて (k+1)^p ≡ k^p+1 (mod p)

(3) 任意の自然数nについて n^p ≡ n (mod p)

(2) L2={x | x∈(a,b)≠, x=x^R}

(3) L3={0ⁿ1ⁿ⁺¹ | nは非負整数}

(1) $J_n=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\cos^nxdx$ のとき J_n=(n-1)J_n-2/n を証明

(2) n=2m (m≥1)のとき、 $J_{2m}=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\cos^{2m}xdx$ をmで表す

(3) $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\cos^4x\cdot\sin^2xdx$ の値

(2) n≥3のとき、Aⁿ=A^n-2+A²-Eを示す

(3) n=2m (m≥1)のときA^2mをmで表す

(1) 正方行列Aについて、A²=E のとき、次を示せ。[(1/2)(E±A)]ⁿ = (1/2)(E±A)

(2) 正方行列Aについて、A²=O のとき、次を示せ。A(E±A)ⁿ = A

(3) 任意の実数 λ について次を示せ。
$\begin{bmatrix}\lambda&1&0\\0&\lambda&1\\0&0&\lambda\end{bmatrix}^n=\begin{bmatrix}\lambda^n&n\lambda^{n-1}&n(n-1)\lambda^{n-2}/2\\0&\lambda^n&n\lambda^{n-1}\\0&0&\lambda^n\end{bmatrix}$

(1) Good 1, Normal 2, End 3 としてiからjに遷移する確率をP_ijとしたとき推移確率行列P=(P_ij)

(2) t回目の状態＝初期状態×P^tとあらわされる。
推移確率行列 $P=\begin{pmatrix}Q&R\\0&E\end{pmatrix}$ とおくとき $\lim_{t\rightarrow\infty}P^t=\begin{bmatrix}0&MR\\0&E\end{bmatrix}$ となる基本行列Mを求めよ。

(3) M_ij は i からスタートして吸収状態に陥るまでに j を通過した平均回数となることから、GoodからスタートしてEndになるまでの平均試技回数とポイント数の期待値を求めよ。

(1) 薬品A,Bの1週間あたりの製造量をそれぞれ x₁, x₂ [kg] として制約条件と目的関数を示せ。

(1) x>0 に対して e^x>1+x+x²/2 を示せ。

(2) lim_x→∞ x/e^x の収束、発散

(3) f(x) = e^1/(-|x|) (x≠0), 0 (x=0) のとき、x=0 における f(x) の微分可能性と連続性