0 を含めた自然数 (Natural number) の集合 N₀ := { 0, 1, 2, 3, 4, … } を考えるんだが、自然数とその和 + (足し算のこと) についての定義は書かない。ペアノの公理を書いてもなぁ。

　性質だけ書いておくと1. 0 との和をとっても不変、2. 順番を変えても不変。記号で書くと
　　1. a + 0 = a [恒等],　　2. a + b = b + a [可換]　　(forall a,b in N₀)

　さて、積 * (掛け算) を定義する。例えば 2+2+2=2x3 という具合だ。
　　forall a₁, a₂, …, a_n, a, n in N₀, n >= 1 に対して a₁ = a₂ = … = a_n = a のとき a * n := a₁ + a₂ + … + a_n
　　特に a * 1 = a [恒等] となって、 n = 0 のときは a * 0 := 0 とする。

　* と + では * の方が優先順位が高いことにする。後で分数を考えた時のためだ。つまり (1+2)*3 = 3*3 = 9 となるが、1+2*3 = 1+6 =7 となる。

さて、これを見てくれ。怯えることはない。こいつははじめから死んでいる。

　つまりこうだ。
　　a * b = b * a [可換],　　a * (b + c) = a * b + a * c [分配法則]　　(a, b, c in N₀)

　逆に考えるんだ。まず和の場合の"変化なし" (恒等変換) は +0 だから
　　forall a in N₀, a + b = 0 となるような b を定義して b := -a とする。
　特に 0 + 0 = 0 だから -0 = 0 となるのだが、一般には -a は自然数ではないから、新しい数だ。そして、-a は a に対して唯一つだ。数学用語では一意的であるという。
　さらに -(-a) を考えると定義に従って -a + (-(-a)) = 0 なのだから -(-a) = a である。
　また、 -(a + b) を考えたら (a + b) + (-(a + b)) = 0 で両辺に (-a) + (-b) を加えて、 -(a + b) = (-a) + (-b) を得る。
　等式の両辺に同じ数を加えてもやはり等式、というのは加法は全単射だからなのだが、詳しくは書かない。
　a - b := a + (-b) と書くことにして、この演算を a と b の差という。

　こうやって負の数というもの N_- := {-1, -2, -3, …} を定義した。これに対して N₊ := N₀ / {0} = {1, 2, 3, …} を正の数と呼ぶ。そして全部合わせて Z := N_- U N₀ = {…, -2, -1, 0, 1, 2, …} を整数 (integer) と呼ぶ。

　さて、次は積の逆をやってみる。forall a in Z に対して a * b = 1 となる b を a^-1 と書いて a の逆数と呼ぶ。
　この a^-1 も一意的なのだが 1^-1 = 1 であり、0 の逆数は存在しない。a = 0, 1 の場合以外には、これまた a^-1 というのは新種の数だ。
　また、 (a^-1)^-1 = a となり、(a * b)^-1 = b^-1 * a^-1 となる。確認してくれ。

　新種の数について考えるのだが、まず a/b := a * b^-1 と書くことにする。特に a/1 = a * 1^-1 = a * 1 = a
　次に a = d * m, b = d * n (d>0) のときを考えると a/b = m/n となる。これも確認してくれ。 　
このような d := (a, b) を a, b の公約数という。d = 1 のとき、a, b は互いに素であるという。
　3/6 = 1/2 のように互いに素であるように書き換える操作を約分という。
　約分したものの集合 Q := { a/b | a in Z, b in N₊ は互いに素 } の各要素を有理数 (rational number) という。ただし、 b はもちろん 0 ではなく、a/1 を単に a と書く。

　有理数での演算を考える。積については a/b * c/d := (a*c)/(b*d) とする。
　和については分配法則を利用して a/b + c/d := (ad + cb)/(b*d) とする。わかりにくいか。
　例えば 2/3 + 4/5 = (2*5 + 4*3)/(3*5) = (10 + 12)/15 = 22/15

　指数について書いてなかった。a₁, a₂, …, a_n, a in Z に対して a₁ = a₂ = … = a_n = a のとき aⁿ := a₁ * a₂ * … * a_n として、この n in N を指数と呼ぶ。a⁰ := 1 としておく。さらに a^-n := (a^-1)ⁿ とすれば forall n in Z で定義できる。
　　a^m * aⁿ = a^m+n,　　(a^m)ⁿ = a^m*n

　やはり逆に考えてみる。だがまず a>0 だけを考える。n in Z として (a^m)ⁿ = a となる a^m > 0 を a^1/n と定義する。
　xⁿ = a となる x を a のｎ乗根という。特に n が奇数 (1,3,5,…) のとき a^1/n だけだが、n が偶数 (2,4,6,…) のとき a^1/n, -a^1/n の２つある。
　さらに (a^m)^1/n := a^m/n とする。これで a in N, n in Q に対して aⁿ が定義されたわけだ。
　例：　9^1/2 = 3, 8^-2/3 = 1/4
　2^1/2 のようなものは有理数ではないニュータイプだ。これらを無理数 (irrational number) という。また有理数と無理数をあわせて実数 (real number) と呼ぶ。