確率 1

離散確率。用語の定義とちょっとした例。

2008-06-16

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INDEX

標本空間 Ω
事象 A
確率 P(A)
余事象 A^C
和事象 A∪B
積事象 A∩B
排反 A∩B ＝ φ
独立 P(A∩B) ＝ P(A)P(B)
条件付き確率 P(A|B) :＝ P(A∩B)／P(B)
確率変数 X
期待値 E(X) :＝ Σⁿ_k=1 x_kp_k
分散 V(X) :＝ E({X−E(X)}²)
標準偏差 √V(X)
共分散 Cov(X,Y) :＝ E[{X−E(X)}{Y−E(Y)}]
相関係数 ρ(X,Y) :＝ Cov(X,Y)／(√V(X)√V(X))
ベルヌーイ分布 X ～ Be(p), P(X＝0) ＝ 1−p, P(X＝1) ＝ p
２項分布 X ～ B(n,p), P(X＝k) ＝ _nC_kp^k(1－p)^n－k [k＝0,1,2,…,n]
再生性 X ～ Be(p), P(X＝0) ＝ 1−p, P(X＝1) ＝ p
幾何学分布 X ～ Ge(p), P(X＝k) ＝ p(1−p)^k [k＝0,1,2,…]
ファーストサクセス分布 X ～ Fs(p), P(X＝k) ＝ p(1−p)^k−1 [k＝1,2,…]
負の２項分布 X ～ NB(n,p), P(X＝k) ＝ _n＋k−1C_n−1pⁿ(1−p)^k [k＝0,1,2,…,n]
ポアソン分布 X ～ Po(λ), P(X＝k) ＝ λ^ke^−λ／k! [k＝0,1,2,…]

基礎用語の定義

起こりうるすべての集合を標本空間といい、Ωで表す。また、標本空間の部分集合を事象といい、事象Aが起こる確率をP(A)で表す。確率とは以下の性質を満たす写像。

0 ≦ P(A) ≦ 1
P(Ω) ＝ 1
A∩B ＝ φ ⇒ P(A∪B) ＝ P(A)＋P(B)

例：サイコロを１回投げて、偶数の目が出る確率を考える。

標本空間は Ω ＝ { 1,2,3,4,5,6 } である。事象を A :＝ { 2,4,6 } とおく。求める確率は P(A) ＝ 3/6 ＝ 1/2 となる。　■

事象Aの補集合A^C (つまりAが起こらないこと) をAの余事象という。また、A∪Bを和事象、A∩Bを積事象といい、A∩B ＝ φ のときA,Bは互いに排反であるという。 P(A∩B) ＝ P(A)P(B) であるときA,Bは互いに独立であるという。

P(B) ＞ 0 のとき条件付き確率を P(A|B) :＝ P(A∩B)／P(B) と定義する。 P(A|B) ＝ P(A) ⇔ A,Bは互いに独立

標本空間の元ωに実数X(ω)を対応させる関数Xを確率変数という。A ＝ { ω | X(ω) ＝ x } は１つの事象であり、この X＝x となる確率 P(A) を P(X＝x) とも書く。

確率変数Xの分布が

Xの値	x₁	x₂	…	x_n
確率	p₁	p₂	…	p_n

であるとき、期待値を E(X) ＝ Σⁿ_k=1 x_kp_k で定義する。このとき、確率変数X,Yと定数aに対して次が成り立つ。

E(X＋Y) ＝ E(X)＋E(Y)
E(aX) ＝ aE(X)
E(a) ＝ a 　[特に E(E(X))＝E(X)]
X,Yが独立[P(X＝x,Y＝y) ＝ P(X)P(Y)] ⇒ E(XY) ＝ E(X)E(Y)

また、分散を V(X) :＝ E({X－E(X)}²) で定義し、その平方根 √V(X) を標準偏差という。

V(aX＋b) ＝ a²V(X)
V(a) ＝ 0
V(X) ＝ E(X²)−E(X)²
X,Yが独立 ⇒ V(X＋Y) ＝ V(X)＋V(Y)

例：次の確率分布において p, E(X), V(X), E(2^X) を求める。

Xの値	0	1	2
確率	1/6	2/6	p

全確率は１なので 1/6＋2/6＋p ＝ 1 ∴p ＝ 3/6 ＝ 1/2 定義どおりに E(X) ＝ 0・1/6＋1・2/6＋2・3/6 ＝ 4/3 また E(X²) ＝ 0²・1/6＋1²・2/6＋2²・3/6 ＝ 7/3 だから V(X) ＝ E(X²)−E(X)² ＝ 7/3−(4/3)² ＝ 5/9 　■

例：X,Yが独立でE(X)＝1,V(X)＝2,E(Y)＝3,V(Y)＝4のとき次を求める。(1)E(2X＋3Y) (2)V(4X−5Y) (3)E[(X＋Y)²] (4)Xの標準化：E(X−a／b)＝0, V(X−a／b)＝1 となるa,b

E(2X＋3Y) ＝ 2E(X)＋3E(Y) ＝ 2･1＋3･3 ＝ 11 　—(1)
V(4X−5Y) ＝ 4²V(X)＋(-5)²V(Y) ＝ 16･2＋25･4 ＝ 132 　—(2)
E[(X＋Y)²] ＝ E(X²)＋E(2XY)＋E(Y²) ＝ V(X)＋E(X)²＋2E(X)E(Y)＋V(Y)＋E(Y)² ＝ 2＋1²＋2･1･3＋4＋3² ＝ 22 　—(3)
E(X−a／b) ＝ (E(X)−a)／b ＝ 0 より a＝1, V(X−1／b) ＝ V(X)／b² ＝ 1 より b＝±√2 　—(4)　■

共分散を Cov(X,Y) :＝ E[{X－E(X)}{Y－E(Y)}] で定義する。

Cov(X,X) ＝ V(X), Cov(X,Y) ＝ Cov(Y,X)
Cov(X₁＋X₂,Y) ＝ Cov(X₁,Y)＋Cov(X₂,Y)
Cov(X,Y) ＝ E(XY)−E(X)E(Y)
V(X＋Y) ＝ V(X)＋2Cov(X,Y)＋V(Y)
XとYが独立 ⇒ Cov(X,Y) ＝ 0

相関係数を ρ(X,Y) :＝ Cov(X,Y)／(√V(X)√V(Y)) と定義する。

-1 ≦ ρ(X,Y) ≦ 1
ac ＞ 0 ⇒ ρ(aX＋b, cY＋d) ＝ ρ(X,Y)

確率分布

次のようなXの分布をパラメータp(0＜p＜1)のベルヌーイ分布といい、X ～ Be(p) と表す。

Xの値	0	1
確率	1−p	p

このとき、E(X) ＝ 0・(1−p)＋1・p ＝ p, E(X²) ＝ 0²・(1−p)＋1²・p ＝ p
従って、V(X) ＝ E(X²)－E(X)² ＝ p－p² ＝ p(1−p)

より一般に P(X＝k) ＝ _nC_kp^k(1−p)^n−k [k＝0,1,2,…,n] のとき２項分布といい、B(n,p) と書く。B(1,p) ＝ Be(p) である。

X_i～Be(p), 各X_iは独立 [i＝1,2,…,n] ⇒ X₁＋X₂＋…＋X_n ～ B(n,p)
X～B(n,p) ⇒ E(X) ＝ np, V(X) ＝ np(1−p)
X,Yが独立で、X～B(m,p), Y～B(n,p) ⇒ X＋Y ～ B(m＋n,p) [再生性という性質]

確率 p で成功、確率 1−p で失敗という試行を独立に繰り返すとき、

最初の成功までの失敗数Xの分布を幾何学分布であるといい、X～Ge(p)と書く。P(X＝k) ＝ p(1−p)^k [k＝0,1,2,…], E(X) ＝ (1−p)／p, V(X) ＝ (1−p)／p²
最初の成功までの試行数Xの分布をファーストサクセス分布であるといい、X～Fs(p)と書く。P(X＝k) ＝ p(1−p)^k−1 [k＝1,2,…], X～Fs(p) ⇔ X−1～Ge(p)
n回成功するまでの失敗数Xの分布を負の２項分布であるといい、X～NB(n,p)と書く。P(X＝k) ＝ _n＋k−1C_n−1pⁿ(1−p)^k [k＝0,1,2,…,n]
X_i～Ge(p), 各X_iは独立 ⇒ X ＝ X₁＋…＋X_n ～ NB(n,p) だから E(X) ＝ n(1－p)／p, V(X) ＝ n(1－p)／p²

P(X＝k) ＝ λ^ke^−λ／k! [k＝0,1,2,…] のときポアソン分布といい、X～Po(λ)と書く。E(X) ＝ V(X) ＝ λ