確率 2

INDEX

• 連続確率変数 P(a≦X≦b)
• 独立 P(a≦X≦b, c≦Y≦d) ＝ P(a≦X≦b)P(c≦Y≦d)
• （確率）密度関数 f_X(x)
• 期待値 E(X) :＝ ∫_-∞^∞ xf_X(x)dx
• 分散 V(X) :＝ ∫_-∞^∞ {x－E(X)}²f_X(x)dx
• （累積）分布関数 F_X(x) :＝ P(X≦x)
• 一様分布 X～U(a,b), f_X(x) ＝ 1／(b－a) [a＜x＜b], 0 [その他]
• 指数分布 X～Exp(λ), f_X(x) ＝ 1／λe^-x/λ [x＞0], 0 [その他]
• 無記憶性 P(X＞s＋t | X＞s) ＝ P(X＞t)
• 標準正規分布 X～N(0,1), f_X(x) ＝ 1／√(2π) exp(-x²／2)
• 正規分布 X～N(μ,δ²), f_X(x) ＝ 1／√(2πδ²) exp{-(x－μ)²／(2δ²)}
• ガンマ関数 Γ(s) ＝ ∫₀^∞ x^s-1e^-xdx
• ベータ関数 Β(s,t) ＝ ∫₀¹ x^s-1(1－x)^t-1dx
• ガンマ分布 f_X(x) ＝ x^p-1e^-x/a／(Γ(p)a^p) [x＞0], 0 [その他]
• ベータ分布 f_X(x) ＝ x^a-1(1－x)^b-1／Β(a,b) [0＜x＜1], 0 [その他]

基礎用語の定義

P(a≦X≦b) ＝ ∫_a^b f(x)dx が任意の実数 a,b(a≦b) に対して成立するような関数fが存在するとき、Xを連続確率変数といい、f(x)をXの（確率）密度関数と呼ぶ。このf(x)をf_X(x)のように書くことも多い。
[より詳しくは測度論、ラドン-ニコディムの定理などを調べて。]

1. f_X(x) ≧ 0
2. ∫_-∞^∞ f_X(x)dx ＝ 1 [全確率は1]
3. P(X＝a) ＝ ∫_a^a f_X(x)dx ＝ 0 [１点確率は0]

任意のa,b,c,dに対し P(a≦X≦b, c≦Y≦d) ＝ P(a≦X≦b)P(c≦Y≦d) となるとき、XとYは独立であるという。

期待値　E(X) :＝ ∫_-∞^∞ xf_X(x)dx
分散　V(X) :＝ ∫_-∞^∞ {x－E(X)}²f_X(x)dx

一般に、実数値確率変数Xについて F_X(x) :＝ P(X≦x) をXの（累積）分布関数という。次の性質を持つ。

1. F_X(x)は単調増加（非減少）
2. lim_x→∞ F_X(x) ＝ 1, lim_x→-∞ F_X(x) ＝ 0
3. Xが連続確率変数のとき F_X(x) ＝ ∫_-∞^x f_X(u)du

確率分布

確率変数Xの密度関数が f_X(x) ＝ 1／(b－a) [a＜x＜b], 0 [その他] のとき、Xの分布は区間(a,b)上の一様分布であるといい、X～U(a,b)と書く。

• E(X) ＝ ∫_-∞^∞ x／(b－a)dx ＝ 1／(b－a)[x²／2]_a^b ＝ (a＋b)／2
• E(X²) ＝ ∫_-∞^∞ x²／(b－a)dx ＝ 1／(b－a)[x³／3]_a^b ＝ (a²＋ab＋b²)／3
• V(X) ＝ E(X²)－E(X)² ＝ (a²＋ab＋b²)／3 － {(a＋b)／2}² ＝ (b－a)²／12

f_X(x) ＝ 1／λe^-x/λ [x＞0], 0 [その他] のとき、Xの分布は期待値λの指数分布であるといい、X～Exp(λ)と書く。

• E(X) ＝ ∫_-∞^∞ x／λe^-x/λdx ＝ λ∫₀^∞ ue^-udu [x／λ＝u] ＝ λΓ(2) ＝ λ
• E(X²) ＝ ∫_-∞^∞ x²／λe^-x/λdx ＝ λ²∫₀^∞ u²e^-udu [x／λ＝u] ＝ λ²Γ(3) ＝ 2λ²
• V(X) ＝ E(X²)－E(X)² ＝ λ²
• P(X＞s＋t | X＞s) ＝ P(X＞t) [無記憶性]

f_X(x) ＝ 1／√(2π) exp(-x²／2) のときXの分布は標準正規分布であるといい、X～N(0,1)と表す。より一般にμとδ＞0を定数として
f_X(x) ＝ 1／√(2πδ²) exp{-(x－μ)²／(2δ²)} のときXの分布は期待値μ、分散δ²の正規分布といい、X～N(μ,δ²)と表す。このとき、

• δX＋μ ～ N(μ,δ²)
• (X－μ)／δ ～ N(0,1) 　[(X－μ)／δをXの標準化という]
• 再生性を持つ

s,t＞0に対して
ガンマ関数　Γ(s) :＝ ∫₀^∞ x^s-1e^-xdx
ベータ関数　Β(s,t) :＝ ∫₀¹ x^s-1(1－x)^t-1dx

1. Γ(1) ＝ 1, Γ(1／2) ＝ √π,　Γ(s＋1) ＝ sΓ(s) 特に Γ(n) ＝ (n－1)！ (n∈N)
2. Β(s,t) ＝ Β(t,s) ＝ Γ(s)Γ(t)／Γ(s＋t) ＝ 2∫₀^π/2 sin^2s-1θcos^2t-1θdθ

f_X(x) ＝ x^p-1e^-x/a／(Γ(p)a^p) [x＞0], 0 [その他] のときXの分布はパラメータp,a(＞0)のガンマ分布であるといい、X～Γ(p,a)と表す。

f_X(x) ＝ x^a-1(1－x)^b-1／Β(a,b) [0＜x＜1], 0 [その他] のときXの分布はパラメータa,b(＞0)のベータ分布であるといい、X～β(a,b)と表す。