確率 3

INDEX

• 確率母関数 g_X(t) ：＝ E(t^X) ＝ Σ_k t^kP(X＝k)
• モーメント母関数（積率母関数）M_X(t) ：＝ E(e^tX) ＝ ∫_-∞^∞ e^tXƒ_X(x)dx

定義と性質

確率母関数を g_X(t) ：＝ E(t^X) ＝ Σ_k t^kP(X＝k) と定義する。以下の性質を持つ。

1. g_X(1) ＝ E(t¹) ＝ 1
2. g'_X(t) ＝ E(d/dt(t^X)) ＝ E(Xt^X-1), g'_X(1) ＝ E(X)
3. g''_X(t) ＝ E(d²/dt²(t^X)) ＝ E(X(X－1)t^X-2), g''_X(1) ＝ E(X(X－1))
4. V(X) ＝ g''_X(1)＋g'_X(1)－{g'_X(1)}²
5. X,Yが同分布 ⇔ g_X(t) ＝ g_Y(t)
6. X,Yが独立 ⇒ g_X+Y(t) ＝ g_X(t)g_Y(t)

モーメント母関数（積率母関数）を
　連続の場合： M_X(t) ：＝ E(e^tX) ＝ ∫_-∞^∞ e^tXƒ_X(x)dx
　離散の場合： M_X(t) ：＝ E(e^tX) ＝ Σ_k e^tkP(X＝k)
で定義する。以下の性質がある。

1. M_X(0) ＝ E(1) ＝ 1
2. M'_X(t) ＝ E(d/dt(e^tX)) ＝ E(Xe^tX), M'_X(0) ＝ E(X)
3. M''_X(t) ＝ E(d²/dt²(e^tX)) ＝ E(X²e^tX), M''_X(0) ＝ E(X²)
4. M_X⁽ⁿ⁾(0) ＝ E(Xⁿ)
5. X,Yが同分布 ⇔ M_X(t) ＝ M_Y(t)
6. X,Yが独立 ⇒ M_X+Y(t) ＝ M_X(t)M_Y(t)