確率 3

確率母関数、モーメント母関数。
2008-06-27
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定義と性質

確率母関数gX(t) := E(tX) = Σk tkP(X=k) と定義する。以下の性質を持つ。

  1. gX(1) = E(t¹) = 1
  2. g'X(t) = E(d/dt(tX)) = E(XtX-1), g'X(1) = E(X)
  3. g''X(t) = E(d²/dt²(tX)) = E(X(X-1)tX-2), g''X(1) = E(X(X-1))
  4. V(X) = g''X(1)+g'X(1)-{g'X(1)}²
  5. X,Yが同分布 ⇔ gX(t) = gY(t)
  6. X,Yが独立 ⇒ gX+Y(t) = gX(t)gY(t)

モーメント母関数(積率母関数)
 連続の場合: MX(t) := E(etX) = ∫-∞ etXƒX(x)dx
 離散の場合: MX(t) := E(etX) = Σk etkP(X=k)
で定義する。以下の性質がある。

  1. MX(0) = E(1) = 1
  2. M'X(t) = E(d/dt(etX)) = E(XetX), M'X(0) = E(X)
  3. M''X(t) = E(d²/dt²(etX)) = E(X²etX), M''X(0) = E(X²)
  4. MX(n)(0) = E(Xn)
  5. X,Yが同分布 ⇔ MX(t) = MY(t)
  6. X,Yが独立 ⇒ MX+Y(t) = MX(t)MY(t)